On the appoximation of Hawkes processes : from time series to quantitative central limit theorems
Sur l'approximation des processus de Hawkes : des séries temporelles aux théorèmes centraux limites quantitatifs
Résumé
In this thesis we study Hawkes processes, which are a class of auto-regressive point processes that have applications in many fields such as neuroscience, insurance and social media. We focus on the approximation of these processes, either on the whole time axis or when the time horizon goes to infinity. In Chapter 2 we propose a time series model to approximate nonlinear Hawkes processes on a time grid. Despite being less explicit that its linear counterpart, the nonlinear Hawkes process allows for auto-inhibition and for the Gaussian perturbation of its intensity. By using the Markov structure of Erlang kernels, we suggest a hidden Markov chain that approximates the Hawkes process with the aforementioned kernels. We then show that the approximation actually converges in the Skorokhod topology to the time-continuous process. This result is an extension of the work of Kirchner (2016) that is only available for linear processes and whose proof uses different techniques. Finally, we numerically calibrate a realisation of the multivariate Hawkes process by running a regression on its discrete-time approximation. Chapter 3 is based on a joint work with Caroline Hillairet, Lorick Huang and Anthony Réveillac. It is dedicated to the application of the Malliavin-Stein method to the linear Hawkes process. In this Chapter, we provide general bounds on the Wasserstein distance between the law of functionals of a Hawkes process and the one of a Gaussian random variable. This is achieved by relying on the Poisson embedding the Hawkes process, which allows us to develop a specific Malliavin calculus. We apply the general bound to centered and normalized versions to obtain, for the first time, a speed of convergence of the Hawkes process towards its Gaussian limit. In Chapter 4 the operators are extended to higher dimensions in order to adapt the results to linear compound multivariate Hawkes process. By choosing an adequate Wasserstein distance between the Hawkes process and its multivariate Gaussian limit, we extend the bound established in Chapter 3. The result is then extended to vectors formed by the compound process, evaluated at different time marginals. The last chapter follows closely the paper of Karabash and Zhu (2015) by dealing with an insurance policy driven by a marked linear Hawkes process. We provide a quantitative central limit theorem as well as a large deviations principle (LDP) with their detailed proofs. The LDP is then used to quantify the asymptotic ruin probability of the insurance policy. We finally illustrate the result on a numerical example which we then compare to the classical Cramér-Lundberg model.
Dans cette thèse, nous étudions une classe de processus ponctuels auto-régressifs, celle des processus de Hawkes. Ces processus ont des applications dans plusieurs domaines comme la neuroscience, les assurances et les réseaux sociaux. Nous nous concentrons sur l'approximation de ces processus sur la droite réelle ou bien en temps long. Le chapitre 2 porte sur l'approximation des processus de Hawkes non linéaires, éventuellement avec une intensité perturbée par un bruit gaussien. Le processus non linéaire a l'avantage de permettre de modéliser l'auto-inhibition. Comme les processus dont les noyaux sont des fonctions d'Erlang ont une structure markovienne, on propose une chaîne de Markov d'approximation. On montre la convergence de cette chaîne vers le processus en temps continu quand le pas de temps tend vers zéro, étendant ainsi l'approximation de Kirchner (2016) qui est valable uniquement pour les processus linéaires et dont la démonstration nécessite des techniques différentes. En guise d'application, on calibre numériquement le processus en temps continu en ayant recours à une régression sur son approximation discrète. Le chapitre 3, qui est une collaboration avec Caroline Hillairet, Lorick Huang et Anthony Réveillac, est dédié à l'application de Malliavin-Stein aux processus de Hawkes linéaires. On y démontre des bornes sur la distance de Wasserstein entre les fonctionnelles de Hawkes et une gaussienne quelconque. En considérant les processus de Hawkes comme un amincissement d'une mesure de Poisson générale, on développe un calcul de Malliavin spécifique à ces processus. Ce résultat est appliqué ensuite pour obtenir, pour la première fois, la vitesse de convergence du processus de Hawkes normalisé vers sa limite gaussienne pour une classe spéciale de noyaux. Au chapitre 4, on étend les opérateurs de Malliavin définis dans le chapitre 3 aux dimensions supérieures, afin de travailler avec les processus de Hawkes linéaires multivariés. En mesurant la distance entre le processus de Hawkes et sa limite gaussienne multidimensionnelle avec une distance de Wasserstein adéquate, on généralise la borne obtenue au chapitre précédent. Par suite, on l'étend aux processus composés évalués à différentes marginales de temps. Le chapitre 5, plus applicatif, généralise le travail de Karabash et Zhu (2015) à une police d'assurances dont les sinistres arrivent selon un processus de Hawkes linéaire marqué. On y démontre un théorème central limite quantitatif, ainsi qu'un principe de grandes déviations (PGD) en donnant des preuves détaillées. Le PGD est utilisé par la suite pour quantifier la probabilité de ruine asymptotique de la police. Finalement, on illustre la probabilité de ruine sur un exemple numérique et on la compare au modèle classique de Cramér-Lundberg.
Origine : Version validée par le jury (STAR)